高三数学题

基本不等式

1.若xy>0，则对xy+yx说法正确的是()

A.有值-2B.有最小值2

C.无值和最小值D.无法确定

答案：B

2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的值是()

A.400B.100

C.40D.20

答案：A

3.已知x≥2，则当x=____时，x+4x有最小值____.

答案：24

4.已知f(x)=12x+4x.

(1)当x>0时，求f(x)的最小值;

(2)当x<0时，求f(x)的值.

解：(1)∵x>0，∴12x，4x>0.

∴12x+4x≥212x?4x=83.

当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，

∴当x>0时，f(x)的最小值为83.

(2)∵x<0，∴-x>0.

则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x?(-4x)=83，

当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.

∴当x<0时，f(x)的值为-83.

一、选择题

1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()

A.x+12xB.x2-1+1x2-1

C.2x+2-xD.x(1-x)

答案：C

2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()

A.32-3B.-3

C.62D.62-3

解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.

3.已知m、n∈R，mn=100，则m2+n2的最小值是()

A.200B.100

C.50D.20

解析：选A.m2+n2≥2mn=200，当且仅当m=n时等号成立.

4.给出下面四个推导过程：

①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba?ab=2;

②∵x，y∈(0，+∞)，∴lgx+lgy≥2lgx?lgy;

③∵a∈R，a≠0，∴4a+a≥24a?a=4;

④∵x，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2(-xy)(-yx)=-2.

其中正确的推导过程为()

A.①②B.②③

C.③④D.①④

解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.

①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;

②虽然x，y∈(0，+∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的;

③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，

∴4a+a≥24a?a=4是错误的;

④由xy<0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.

5.已知a>0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是()

A.2B.22

C.4D.5

解析：选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.

6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()

A.值64B.值164

C.最小值64D.最小值164

解析：选C.∵x、y均为正数，

∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，

当且仅当8x=2y时等号成立.

∴xy≥64.

二、填空题

7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.

答案：1

8.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.

解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.

答案：大116

9.(2010年高考山东卷)已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的值为________.

解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.

当且仅当x3=y4时取等号.

答案：3

三、解答题

10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;

(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.

解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.

∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

≥2(x+1)?4x+1+5=9，

当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.

∴x=1时，函数的最小值是9.

(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.

∴(x-1)+9x-1+2≥2(x-1)?9x-1+2=8.

当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，

∴y有最小值8.

11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.

证明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，

∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，

同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

当且仅当a=b=c时取等号.

12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.

总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200

=800×(x+225x)+12000

≥1600x?225x+12000

=36000(元)

当且仅当x=225x(x>0)，

即x=15时等号成立.

数列

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.在等差数列{an}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为()

A.6B.7C.8D.9

解析：∵a1+a2+a12+a13=4a7=24，∴a7=6.

答案：A

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33-S22=1，则数列{an}的公差是()

A.12B.1C.2D.3

解析：由Sn=na1+n(n-1)2d，得S3=3a1+3d，S2=2a1+d，代入S33-S22=1，得d=2，故选C.

答案：C

3.已知数列a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈正整数集)，则a2011等于()

A.1B.-4C.4D.5

解析：由已知，得a1=1，a2=5，a3=4，a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…

故{an}是以6为周期的数列，

∴a2011=a6×335+1=a1=1.

答案：A

4.设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5

A.d<0B.a7=0

C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的值

解析：∵S5

又S7>S8，∴a8<0.

假设S9>S5，则a6+a7+a8+a9>0，即2(a7+a8)>0.

∵a7=0，a8<0，∴a7+a8<0.假设不成立，故S9

答案：C

5.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3=3a3，则公比q的值为()

A.-12B.12

C.1或-12D.-2或12[

解析：设首项为a1，公比为q，

则当q=1时，S3=3a1=3a3，适合题意.

当q≠1时，a1(1-q3)1-q=3?a1q2，

∴1-q3=3q2-3q3，即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0，

解得q=1(舍去)，或q=-12.

综上，q=1，或q=-12.

答案：C

6.若数列{an}的通项公式an=5?252n-2-4?25n-1，数列{an}的项为第x项，最小项为第y项，则x+y等于()

A.3B.4C.5D.6

解析：an=5?252n-2-4?25n-1=5?25n-1-252-45，

∴n=2时，an最小;n=1时，an.

此时x=1，y=2，∴x+y=3.

答案：A

7.数列{an}中，a1=15,3an+1=3an-2(n∈正整数集)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()

A.a21a22B.a22a23C.a23a24D.a24a25

解析：∵3an+1=3an-2，

∴an+1-an=-23，即公差d=-23.

∴an=a1+(n-1)?d=15-23(n-1).

令an>0，即15-23(n-1)>0，解得n<23.5.

又n∈正整数集，∴n≤23，∴a23>0，而a24<0，∴a23a24<0.

答案：C

8.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()

A.1.14aB.1.15a

C.11×(1.15-1)aD.10×(1.16-1)a

解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1=a，w

an=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).

∴总产值为S6-a1=11×(1.15-1)a.

答案：C

9.已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7?a14的值为()

A.25B.50C.100D.不存在

解析：由S20=100，得a1+a20=10.∴a7+a14=10.

又a7>0，a14>0，∴a7?a14≤a7+a1422=25.

答案：A

10.设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈正整数集，点an，S2nSn()

A.在直线mx+qy-q=0上

B.在直线qx-my+m=0上

C.在直线qx+my-q=0上

D.不一定在一条直线上

解析：an=mqn-1=x，①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y，②

由②得qn=y-1，代入①得x=mq(y-1)，即qx-my+m=0.

答案：B

11.将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为()

A.n2-nB.n2+n+2

C.n2+nD.n2-n+2

解析：因为前n-1组占用了数列2,4,6，…的前1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n-1)n2+1项，等于2+(n-1)n2+1-1?2=n2-n+2.

答案：D

12.设m∈正整数集，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是()

A.8204B.8192

C.9218D.以上都不对

解析：依题意，F(1)=0，

F(2)=F(3)=1，有2个

F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2，有22个.

F(8)=…=F(15)=3，有23个.

F(16)=…=F(31)=4，有24个.

…

F(512)=…=F(1023)=9，有29个.

F(1024)=10，有1个.

故F(1)+F(2)+…+F(1024)=0+1×2+2×22+3×23+…+9×29+10.

令T=1×2+2×22+3×23+…+9×29，①

则2T=1×22+2×23+…+8×29+9×210.②

①-②，得-T=2+22+23+…+29-9×210=

2(1-29)1-2-9×210=210-2-9×210=-8×210-2，

∴T=8×210+2=8194，m]

∴F(1)+F(2)+…+F(1024)=8194+10=8204.

答案：A

第Ⅱ卷(非选择共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.若数列{an}满足关系a1=2，an+1=3an+2，该数列的通项公式为__________.

解析：∵an+1=3an+2两边加上1得，an+1+1=3(an+1)，

∴{an+1}是以a1+1=3为首项，以3为公比的等比数列，

∴an+1=3?3n-1=3n，∴an=3n-1.

答案：an=3n-1

14.已知公差不为零的等差数列{an}中，M=anan+3，N=an+1an+2，则M与N的大小关系是__________.

解析：设{an}的公差为d，则d≠0.

M-N=an(an+3d)-[(an+d)(an+2d)]

=an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d2<0，∴M

答案：M

15.在数列{an}中，a1=6，且对任意大于1的正整数n，点(an，an-1)在直线x-y=6上，则数列{ann3(n+1)}的前n项和Sn=__________.

解析：∵点(an，an-1)在直线x-y=6上，

∴an-an-1=6，即数列{an}为等差数列.

∴an=a1+6(n-1)=6+6(n-1)=6n，

∴an=6n2.

∴ann3(n+1)=6n2n3(n+1)=6n(n+1)=61n-1n+1

∴Sn=61-12+12-13+…+1n-1n+1.=61-1n+1=6nn+1.

答案：6nn+1

16.观察下表：

1

234

34567

45678910

…

则第__________行的各数之和等于20092.

解析：设第n行的各数之和等于20092，

则此行是一个首项a1=n，项数为2n-1，公差为1的等差数列.

故S=n×(2n-1)+(2n-1)(2n-2)2=20092，解得n=1005.

答案：1005

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.(10分)已知数列{an}中，a1=12，an+1=12an+1(n∈正整数集)，令bn=an-2.

(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn;

(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.

解析：(1)∵bn+1bn=an+1-2an-2=12an+1-2an-2=12an-1an-2=12，

∴{bn}是等比数列.

∵b1=a1-2=-32，

∴bn=b1qn-1=-32×12n-1=-32n.

(2)an=bn+2=-32n+2，

Sn=a1+a2+…+an

=-32+2+-322+2+-323+2+…+-32n+2

=-3×12+122+…+12n+2n=-3×12×1-12n1-12+2n=32n+2n-3.

18.(12分)若数列{an}的前n项和Sn=2n.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)，且cn=an?bnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.

解析：(1)由题意Sn=2n，

得Sn-1=2n-1(n≥2)，

两式相减，得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).

当n=1时，21-1=1≠S1=a1=2.

∴an=2(n=1)，2n-1(n≥2).

(2)∵bn+1=bn+(2n-1)，

∴b2-b1=1，

b3-b2=3，

b4-b3=5，

…

bn-bn-1=2n-3.

以上各式相加，得

bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)

=(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)2.

∵b1=-1，∴bn=n2-2n，

∴cn=-2(n=1)，(n-2)×2n-1(n≥2)，

∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1，

∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n.

∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n

=2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n

=2n-2-(n-2)×2n

=-2-(n-3)×2n.

∴Tn=2+(n-3)×2n.

19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式.

解析：(1)依题意，得

3a1+3×22d+5a1+5×42d=50，(a1+3d)2=a1(a1+12d)，解得a1=3，d=2.

∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1，

即an=2n+1.

(2)由已知，得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1，

∴Tn=b1+b2+…+bn

=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1)

=4(1-2n)1-2+n=2n+2-4+n.

20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban-2n=(b-1)Sn.

(1)证明：当b=2时，{an-n?2n-1}是等比数列;

(2)求通项an.新课标第一网

解析：由题意知，a1=2，且ban-2n=(b-1)Sn，

ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1，

两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，

即an+1=ban+2n.①

(1)当b=2时，由①知，an+1=2an+2n.

于是an+1-(n+1)?2n=2an+2n-(n+1)?2n

=2an-n?2n-1.

又a1-1?20=1≠0，

∴{an-n?2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列.

(2)当b=2时，

由(1)知，an-n?2n-1=2n-1，即an=(n+1)?2n-1

当b≠2时，由①得

an+1-12-b?2n+1=ban+2n-12-b?2n+1=ban-b2-b?2n

=ban-12-b?2n，

因此an+1-12-b?2n+1=ban-12-b?2n=2(1-b)2-b?bn.

得an=2，n=1，12-b[2n+(2-2b)bn-1]，n≥2.

21.(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算，如果有20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作.问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由.

解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，则an-an-1=-13.

所以各车的工作时间构成首项为24，公差为-13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车.

设还需组织(n-1)辆车，则

a1+a2+…+an=24n+n(n-1)2×-13≥20×25.

所以n2-145n+3000≤0，

解得25≤n≤120，且n≤73.

所以nmin=25，n-1=24.

故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线.

22.(12分)已知点集L={(x，y)|y=m?n}，其中m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈正整数集.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;

(3)设cn=5n?an?|PnPn+1|(n≥2)，求c2+c3+c4+…+cn的值.

解析：(1)由y=m?n，m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，

得y=2x+1，即L：y=2x+1.

∵P1为L的轨迹与y轴的交点，

∴P1(0,1)，则a1=0，b1=1.

∵数列{an}为等差数列，且公差为1，

∴an=n-1(n∈正整数集).

代入y=2x+1，得bn=2n-1(n∈正整数集).

(2)∵Pn(n-1,2n-1)，∴Pn+1(n,2n+1).

=5n2-n-1=5n-1102-2120.

∵n∈正整数集，

(3)当n≥2时，Pn(n-1,2n-1)，

∴c2+c3+…+cn

=1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n.

高三怎么学数学

1、用好课本

1.对数学2113概念重新认识，5261深刻理解其内涵与外延4102，区分容易混淆的1653概念。如以“角”的概念为例，课本中出现了不少 种“角”，如直线的斜角，两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，复数的辐角主值，夹角、倒角等，它们从各自的定义出法，都有一个确定的取值范围。如两条异面直线所成的角是锐角或直角，而不是钝角，这样保证了它的唯一性。对此理解、掌握了才不会出现概念性错误。

2.尽 一步加深对定理、公式的理解与掌握，注意每个定理、公式的运用条件和范围。如用平均值不等式求最值，必须满三个条件，缺一不可。有的同学之所以出错误，不是对平均值不等式的结构不熟悉，就是忽视其应满足的条件。

3.掌握典型命题所体现的思想与方法。如对等式的证明方法，就给大家提供了求二项式展开式或多项式展开式系数和的普遍方法。因此，端正思想，认真看书，全面掌握，并结合其它资料和练习，加深对基础知识的理解，从而为提高解题能力打下坚实的基础。

2、上好课：课堂学习质量直接影响学习成绩

1.会听课。会听课就是要积极思考。当老师提出问题后，就要抢在老师前面思考怎么办?想一想解决这个问题的所有可能的途径和方法，然后在和教师讲的去比较，可能有的想法行有的不行，可能老师的方法更好，可能你的方法还简明、还奇妙。而不要等老师一点一点告诉你，自己仅仅是听懂了就认为学会了，这实际上是只得怀疑的。难怪不少同学说老师一讲就会，自己一做就错，原因是自己没有真正去思考，也就不可能变成自己的东西。所以积极思考是上好课最为重要的环节，当然也学习的主要方法。

2.做笔记。上课老师讲 含有重要概念，各种问题常规思想与方法，易错的问题，以及一些很适用的规律和技能等，所以，上课做好笔记是必要的。

3.要及时复习。根据记忆规律，复习应及时，每天一复习，一周一复习，每单一总结为好。

3、多做题：高三学习数学要做一定量习题

1.难度适当。现在复习资料多，题多，复习时应按老师的要求。且不能一味做难题、综合题，好高骛远，不但会耗费大量时间，而且遇到不会做题多了就会降低你的自信心，养成容易忽略一些看似简单的基础问题和细节问题，在考试时丢了不丢的分，造成难以弥补的损失。因此，练习时应从自已的实际情况出发，循序渐进。应以基础题、中档题为主，适当做一些综合性较强的题以提高能力和思维品质。