什么是向量

　　在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。

　　它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

　　与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。

　　向量垂直公式

　　a,b是两个向量

　　a=(a1,a2) b=(b1,b2)

　　a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数

　　a垂直b：a1b1+a2b2=0

　　证明：

　　①几何角度：

　　向量A (x1,y1),长度 L1 =√(x1²+y1²)

　　向量B (x2,y2),长度 L2 =√(x2²+y2²)

　　(x1,y1)到(x2,y2)的距离：D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]

　　两个向量垂直,根据勾股定理：L1² + L2² = D²

　　∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

　　∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²

　　∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2

　　∴ x1x2 + y1y2 = 0

　　②扩展到三维角度：

　　x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,

　　那么向量(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)垂直

　　综述，对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是:L1×L2=0 成立。

　　平面向量加法公式

　　已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC

　　即有：AB+BC=AC。

　　用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。

　　这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

　　三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。

　　四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。

　　对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

　　向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。

　　平面向量减法公式

　　AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则

　　简记为：共起点、连中点、指被减。

　　-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。

　　平面向量数乘公式

　　实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。

　　当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，

　　当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，

　　当λ = 0时，λa=0。

　　用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)

　　设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：

　　(λμ)a= λ(μa)

　　(λ + μ)a= λa+ μa

　　λ(a±b) = λa± λb

　　(-λ)a=-(λa) = λ(-a)

　　|λa|=|λ||a|

　　平面向量数量积公式

　　已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。

　　零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

　　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2