高三数学题

满分150分 考试时间120分钟

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A???1,0,1?，集合B?x?2?4，则Ax??B等于 ( )

A.??1,0,1? B. ?1? C.??1,1? D.?0,1?

a2?ai?0，则a的值为 ( ) 2.设i是虚数单位，若复数z?1?i

A.0或?1 B.0或1 C.?1 D.1

3.

已知命题p:?x0?R,sinx0命题q:?x?R,x2?x?1?0.则下列结论正确的是 ( )

A.命题是p?q假命题 B. 命题是p?q真命题

C.命题是(?p)?(?q)真命题 D.命题是(?p)?(?q)真命题

4. ?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a?

2，b?A?面积为( )

A

.

B

. C

.

D

?6，则?ABC的

??0.76x?71. 5.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y

x

y 98 2 99 3 100 101 102 8 5 m

则实数m的值为 ( )

A.6.8

6. 在区域? B.7 C.7.2 D.7.4 ?0?x?1内任意取一点P(x,y) ，则x2?y2?1的概率是( ) ?0?y?1

2??4??24??? A. B. C. D. 44447. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ( )

A.? B.2? C.3? D.4?

俯视图

7题图

侧视图 8题图

8. 执行如图的程序框图，如果输入的a?log32,b?log52,c?log23，那么输出m的值是 ( )

A.log52 B. log32 C.log23 D.都有可能

9. 已知函数①y?sinx?

cosx，②y?xcosx，则下列结论正确的是( )

A. 两个函数的图象均关于点(??

4,0)成中心对称

B. 两个函数的图象均关于直线x??

C. 两个函数在区间(??4对称 ??,)上都是单调递增函数 44

D. 可以将函数②的图像向左平移

?个单位得到函数①的图像 4

10. 已知直角?ABC中，斜边AB?6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则(PA?PB)?PC的最小值为( ) 99 B. ? C.2 D.?2 22

11. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C

直线l与双曲线C交于A,B两点，A. 线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线y?2px(p?0)上，且M到抛物线焦点的距离

为p，则直线l的斜率为( )

31 C.1 D. 22

f(x)12. 设函数f(x)?x3?2ex2?mx?lnx，记g(x)?，若函数g(x)至少存在一个零点，xA. 2 B.

则实数m的取值范围是( )

A

B

C

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y?x(2lnx?1)在点(1,?1)处的切线方程为.

x2y2

14. 已知过双曲线2?2?1右焦点且倾斜角为45?的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲ab

线的离心率e的取值范围是 .

15.设直线x?2y?1?0的倾斜角为?,则cos??sin2?的值为. 2

16.已知函数f(x)为R上的增函数，函数图像关于点(3,0)对称，若实数x,y满

足f(x2??9)?f(y2?2y)?0，则y的取值范围是 . x

三、解答题:本大题共5小题，共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)已知?an?为等差数列，数列?bn?满足对于任意n?N，点(bn,bn?1)?

在直线y?2x上，且a1?b1?2，a2?b2.

(1) 求数列?an?与数列?bn?的通项公式;

(2)若 cn??

??an??bnn为奇数，n为偶数，求数列?cn?的前2n项的和S2n.18. (本小题满分12分)两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力(如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元)的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数按区间[2.5,3.5),[3.5,4.5),[4[.65.,55,.75.)5](千元)进行分组，得到如下统计图：

(1) 求a的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元;

(2)若用分层抽样的方法，从承受能力在[3.5,4.5)与

[5.5,6.5)的居民中抽取5人，在抽取的5人中随机取2

人，求2人的承受能力不同的概率.

19. (本小题满分12分)如图1，?ABC，AB?AC?4，?BAC?

2?

，D为BC的中点，3

DE?AC,沿DE将?CDE折起至?C'DE，如图2，且C'在面ABDE

上的投影恰好是E，连接C'B，M是

C

1

C'B上的点，且C'M?MB.

2

(1)求证：AM∥面C'DE; (2)求三棱锥C'?AMD的体积.

图1

E

x2y2

20. (本小题满分12分)设椭圆M:2?

直线l:x??1a?的右焦点为F1，

a2

?a2a2?2

O为坐标原点)与x轴交于点A，若OF. 1?2AF1?0(其中

(1)求椭圆M的方程;

(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N:x2??y?2??1的任意一条直径(E、F为

2

直径的两个端点)，求?的值. 21.(本小题满分12分)设函数f(x)?

x

?ax. lnx(1)若函数f(x)在(1,??)上为减函数，求实数a的最小值;

(2)若存在x1,x2?[e,e2]，使f(x1)?f?(x2)?a成立，求正实数a的取值范围.

请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，在?ABC中，?ABC?90?，以AB为直径的圆O

交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于

点M.

(1)求证： DE是圆O的切线; OB (2)求证：DE?BC?DM?AC?DM?AB.

23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

?x?2???在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为??y?6???2t2(t为参数).在极坐标系(与直角2t2

坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为??10cos?.

(1)求圆C的直角坐标方程;

(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(2,6)，求|PA|?|PB|.

24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)?m-|x-2|，m?R，且f(x?2)?0的解集为[?1,1].

(1)求m的值;

(2)若a,b,c?R，且

?111???m，求 z?a?2b?3c 的最小值. a2b3c数 学(文科) 答 案

13.x?y?2?0 14. 1?e? 15.

16. 5

17. (本小题满分12分)解：(1)由点(bn,bn?1)在直线y?2x上，有

bn?1

?2，所以数列?bn?bn

是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列?bn?的通项公式为bn?2n， 3分 又a1?b1?2，a2?b2?4，则d?a2?a1?4?2?2，所以数列?an?是以2为首项，2为公差的等差数列，即数列?an?的通项公式为an?2n; 6分

??an

(2) cn??

??bn

所以S2n

n为奇数，n为偶数，

n(2?4n?2)4(1?4n)

? ?(a1?a3???a2n?1)?(b2?b4???b2n)?

21?4

4

?2n2?(4n?1) 12分

3

18. (本小题满分12分)解：(1)由0.1?0.1?0.14?0.45?a?1，所以a?0.21， 2分

平均承受能力x?3?0.1?4?0.14?5?0.45?6?0.21?7?0.1?5.07， 即城市居民的平均承受能力大约为5070元; 5分

(2)用分层抽样的方法在这两组中抽5人, 即[3.5,4.5)组中抽2人与[5.5,6.5)抽3人,

5设[3.5,4.5)组中两人为A1,A2,[5.5,6.5)组中三人为B1,B2,B2,从这人中随机取2人,有

A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3共10中,符合两人承受能力不同的

有A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3共6中,所以所求概率为P?

63

?. 12分 105

第6 / 10页

19. (本小题满分12分)(1) 证明：过M作MN∥C'D,交BD于N,连接AN，

1于是DN?NB，又AB?AC?4，

22?

，D为BC

的中点，所以?BAC?3

CM

N

E

NB?

A

2

，

?B?30?

，由

C

图1

N?

2

A?B22?N

B?c

，得到,所以?ANB?120?，得AN∥oA?sB3ANN

0??ED,所以面AMN∥面C'DE,即AM∥面C'

DE;(注：可以在翻折前的图形中证明AN∥ED) 6分

111

C'M?MB，?VC'?AMD?VB?AMD?VM?ABD，又C'E?面ABD，所以M到平

(2)

222

面ABD的距离h?2，S?ABD?

，

所以VM?ABD?

1，即得三棱

锥?2??

3C'?AMD的体积为

12分

20. (本小题满分12分)解：(1)由题设知，A2

，F1

由OF1

?

2AF1?

0?2解得a2?6

x2y2

??1 4分 所以椭圆M的方程为62

(2)设圆N:x2??y?2??1的圆心为N，

2

则PE?PF?(NE?NP)?(NF?NP)?(?NF?NP)?(NF?NP)?NP?NF?NP?1 从而求PE?PF的值转化为求的值.

2

222

xy22

因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0,y0)所以0?0?1，即x0?6?3y0.

62

22

因为点N?0,2?，所以NP?x0??y0?2???2?y0?1??12

2

2

2

2

因为y0?[，所以当y0??1时，NP取得值12 所以?的值为11 12分

21.(本小题满分12分)解：(1)由已知得x?0,x?1. 因f(x)在?1，+??上为减函数，故f??x??所以当x??1，+??时，f??x?max?0.

2分

2

lnx?1

?lnx?

2

，+??上恒成立. ?a?0在?1

111

?，即x?e2时，f??x?max??a. lnx24111

所以?a?0于是a?，故a的最小值为. 4分

444

当

(2)命题“若存在x,x?[e,e2] ，使f?x1??f??x2??a成立”等价于“当x1,x2?e,e2时，

12有

??

f(x1)min?f?(x2)max?a??.

11

?a，∴f??x?max?a?. 44

1

问题等价于：“当x?[e,e2]时，有f?x?min?”. 6分

4

1

①当a?时，由(1)，f(x)在[e,e2]上为减函数，

4

由(1)，当x?[e,e2]时，f??x?max?则f?x?min

e2111

?f?e???ae2?，故a??2. 8分

24e24

2

②当a<

1111'

?)2??a在[e,e2

]时，由于f(x)??(

4lnx24'

(ⅰ)?a?0，即a?0，f(x)?0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上为增函数， 于是，f(x)min?f(e)?e?ae?e?

1

，矛盾. 10分 4

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DM?BCAC?,DM??ABDM(AC?AB)?DM?(2OD?2OF)?2DM?DFOABC?OE2DB?BODA??AEO?EODDEBCDMAC???2ABOBC?EODBODFDABF2DEDBAC2ODAB2OF?DM?DF???DE??2DB?DM2DE

1OD//?2AC

(ⅱ)?a?0，即0?a?

1

，由f'(x)的单调性和值域知， 4

存在x0?(e,e2)，使f?(x0)?0，且满足：

当x?(e,x0)时，f'(x)?0，f(x)为减函数;当x?(x0,e2)时，f'(x)?0，f(x)为增函数; 所以，fmin(x)?f(x0)?

x01

?ax0?，x0?(e,e2) lnx04

所以，a?

11111111

，与矛盾. 0?a???????

4lnx04x0lne24e244

11

?2 12分 24e

是

的中点，点

是

的中点，

综上，得a?

22.(本小题满分10分) 解：(1)连结OE.∵点∴

，∴?A??BOD，?AEO??EOD.∵，∴

，∴

，

?

.在，

∴

O

?EOD和?BOD中，

∵

OE?OB??EOD??BOD

?OED??OBD?90，即OE?ED.∵E是圆O上一

点，∴DE是圆O的切线. 5分 (2)延长DO交圆O于点.∵≌

. ∵DE,DB是圆

，∴

C

.∵点是的中点，∴

. ∵

O的切线，∴DE?DB.∴

，

∴圆

的切线， 是圆

的割线，∴

，∴

.∵是

10分

23.(本小题满分10分)

解：(1)由??10cos?得x?y?10x?0，即(x?5)?y?25. 5分

2

2

2

2

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(?3?

2222t)?(6?t)?25. 22

即t2?92t?20?0，由于??(92)2?4?20?82?0，可设t1,t2是上述方程的两个实根.

?t1?t2??92

所以?，又直线l过点P(2,6)，

?t1?t2?20

可得：|PA|?|PB|?|t1|?|t2|?(?t1)?(?t2)??(t1?t2)?92. 10分 24.(本小题满分10分)

解：(1)因为f(x?2)?m?|x|， f(x?2)?0等价于|x|?m， 由|x|?m有解，得m?0，且其解集为{x|?m?x?m}.

又f(x?2)?0的解集为[?1,1]，故m?1. 5分 (2)由(1)知

111???1，又a,b,c?R?，由柯西不等式得

a2b3c

∴z?a?2b?3c 的最小值为9 . 10分

2020全国2卷数学难度

2020年全国2卷适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆。2020全国2卷数学难度怎么样呢，下面小编为大家详细介绍一下，供大家参考。

今年全国2卷有一道考题要求查天坛公园有多少快地钻，天坛是个老考点，可以考的内容很多，不仅仅可以考数学，还可以考物理，考历史，考语文，考政治，考地理。

本次高考数学试题难度较上年有所提升。整体考察重基础，但创新较多。这之中对学生的计算能力要求较高。虽然考察内容注重基础，但也很注重学生能力的培养，注重数学的实际应用。例如对试题的文化包装，考察学生的建模意识与能力，重点培养学生的实际应用能力。

给下一届考生的建议：对于全国2卷的考生来说，要以基础为先，夯实基本知识，掌握基本方法，培养基本能力。以课本为基础，加强写，算，画的能力，培养良好的独立思考，认真纠错和答题的习惯。并且在学习过程中多问自己为什么，善于用数学思维去分析和解决问题，只有这样才能真正的掌握数学，才能在最终的高考中取得满意的分数!

2020河北高考理科数学难度分析

今年河北高考理科数学题目其实并不是很难，其中选择题的难度也不是特别的大，要说花时间较长的选择题就是最后一道选择题，可能计算量稍微大一些，但难度其实并不是很大。然后就是填空题，填空题共4道，每道题5分，总共是20分。填空题相对选择题的难度可能稍大一些，毕竟没有蒙的机会，而今年填空题的难度设置的相对来说也是比较小，但也有区分能力的题目，比如最后一道填空题，如果不是特别熟练的同学，可能会出错或者做不出来。