数学小故事(一)

1933年1月，希特勒一上台，就发布第一号法令，把犹太人比作“恶魔”，叫嚣着要粉碎“恶魔的权利”.不久，哥廷根大学接到命令，要学校辞退所有从事教育工作的纯犹太血统的人.在被驱赶的学者中，有一名妇女叫爱米·诺德(A.E.Noether 1882—1935)，她是这所大学的教授，时年5l岁.她主持的讲座被迫停止，就连微薄的薪金也被取消.这位学术上很有造诣的女性，面对困境，却心地坦然，因为她一生都是在逆境中度过的.

诺德生长在犹太籍数学教授的家庭里，从小就喜欢数学.1903年，21岁的诺德考进哥廷根大学，在那里，她听了克莱因、希尔伯特、闽可夫斯基等人的课，与数学解下了不解之缘.她学生时代就发表了几篇高质量的论文，25岁便成了世界上屈指可数的女数学博士.

诺德在微分不等式、环和理想子群等的研究方面做出了杰出的贡献.但由于当时妇女地位低下，她连讲师都评不上，在大数学家希尔伯特的强烈支持下，诺德才由希尔伯特的“私人讲师”成为哥廷根大学第一名女讲师.接下来，由于她科研成果显着，又是在希尔伯特的推荐下，取得了“编外副教授”的资格，虽然她比起很多“教授”更有实力.

诺德热爱数学教育事业，善于启发学生思考.她终生未婚，却有许许多多“孩子”.她与学生交往密切，和蔼可亲，人们亲切地把她周围的学生称为“诺德的孩子们”.我国代数学家曾炯之就是诺德“孩子”们中的一个.

在希特勒的淫威下，诺德被迫离开哥廷根大学，去了美国工作.在美国，她同样受到学生们的尊敬和爱戴，同样有她的“孩子们”.1934年9月，美国设立了以诺德命名的博士后奖学金.不幸的是，诺德在美国工作不到两年，便死于外科手术，终年53岁.她的逝世，令很多数学同僚无限悲痛.爱因斯坦在《纽约时报》发表悼文说：“根据现在的权威数学家们的判断，诺德女士是自妇女受高等教育以来最重要的富于创造性数学天才.”

数学小故事(二)

八岁的高斯发现了数学定理。

德国着名大科学家高斯(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则称呼他为“数学王子”。

他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10??”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是不是这样?”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算!错了。”他想不可能这么快就会有答案了。可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师!我想这个答案是对的。”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢?高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+?+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。

在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。小欧拉智改羊圈

欧拉是数学史上着名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生。

事情是因为星星而引起的。当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过。其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天有有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在幕上的呢?上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢?上帝会不会太粗心了呢?他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问题。在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考。小欧拉没有与教会、与上帝”保持一致“，老师就让他离开学校回家。但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住?他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。

回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米(15+15+40+40=110)父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料;要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情?”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢?那怎么成呢?这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。

父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。

数学小故事(三)

华罗庚在中学读书时，曾对传统的珠算方法进行了认真思考。他经过分析认为：珠算的加减法难以再简化，但乘法还可以简化。乘法传统打法是“留头法”或“留尾法”，即先将乘法打上算盘，再用被乘数去乘;每用乘数的一位数乘被乘数，则在乘数中将该位数去掉;将乘数用完了，即得最后答案。华罗庚觉得：何不干脆将每次乘出的答数逐次加到算盘上去呢?这样就省掉了乘数打上算盘的时间例如：28×6，先在算盘上打上2×6=12，再退一位，加上8×6=48，立即得168，只用两步就能得出结果。对于除法，也可以同样化为逐步相减来做节省的时间就更多的。凭着这一点改进，再加上他擅长心算，华罗庚在当时上海的珠算比赛中获得了冠军。

华罗庚特别爱动脑，对于一些别人看来司空见惯的事，往往也表现出浓厚的兴趣，提出一些似乎希奇的问题。有一次，他同别人一块去城郊玩耍，见一座荒坟旁有石人石马，就问比他大的同伴：“这些石人石马有多重?”同伴回答说：“这怎么能知道呢。”华罗庚却不甘心，沉思片刻，说：“以后总会有方法知道的。”

在当年的金坛，华罗庚最喜欢去的地方，还是灯节、船会、庙会等场所，凡是这些热闹的地方都少不了他的身影。城东有座青龙山，山上有个庙。每逢庙会，庙中的“菩萨：”便头插羽毛，打扮得花花绿绿，骑着高头大马进城来。一路上，人们见到“菩萨”就磕头行礼，祈求幸福。华罗庚伸直脖子，望着双手合十的“菩萨”，心里暗自琢磨：“‘菩萨’果真万能吗?”当庙会散了，人们也陆续回家，华罗庚却跟着“菩萨”去了青龙山，想探个究竟，看一看“菩萨”的真面目。

数学小故事(四)

【塞凯赖思夫妇的故事】

1933年，匈牙利数学家乔治·塞凯赖什(George Szekeres)还只有22岁。那时，他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——保罗·埃尔德什(Paul Erd?s)大神。不过当时，埃尔德什只有20岁。

在一次数学聚会上，一位叫做爱丝特·克莱恩(Esther Klein)的美女同学提出了这么一个结论：在平面上随便画五个点(其中任意三点不共线)，那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。塞凯赖什和埃尔德什等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸包(覆盖整个点集的最小凸多边形)只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。

众人大呼精彩。之后，埃尔德什和塞凯赖什仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最终，他们于1935年发表论文，成功地证明了一个更强的结论：对于任意一个正整数n≥3，总存在一个正整数m，使得只要平面上的点有m个(并且任意三点不共线)，那么一定能从中找到一个凸n边形。埃尔德什把这个问题命名为了“幸福结局问题”(HappyEndingproblem)，因为这个问题让乔治·塞凯赖什和美女同学爱丝特·克莱恩之间迸出了火花，两人越走越近，最终在1937年6月13日结了婚。

对于一个给定的n，不妨把最少需要的点数记作f(n)。求出f(n)的准确值是一个不小的挑战。由于平面上任意不共线三点都能确定一个三角形，因此f(3)=3。爱丝特·克莱恩的结论则可以简单地表示为f(4)=5。利用一些稍显复杂的方法，我们可以证明f(5)等于9。2006年，利用计算机的帮助，人们终于证明了f(6)=17。对于更大的n，f(n)的值分别是多少?f(n)有没有一个准确的表达式呢?这是数学中悬而未解的难题之一。几十年过去了，幸福结局问题依旧活跃在数学界中。

不管怎样，最后的结局真的很幸福。结婚后的近70年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉尼定居，期间从未分开过。2005年8月28日，乔治和爱丝特相继离开人世，相差不到一个小时。

数学小故事(五)

[伽罗瓦的故事】

伽罗瓦(?varisteGalois)，19世纪最伟大的法国数学家之一，被我称为“天才数学家”的人。他16岁时就参加了巴黎综合理工学院的入学考试，结果面试时因为解题步骤跳跃太大，搞得考官们不知所云，最后没能通过考试。

在数学历，伽罗瓦毫无疑问是最富传奇色彩与浪漫色彩的数学家，没有“之一”。18岁时，伽罗瓦漂亮地解决了当时数学界的难题：为什么五次及五次以上的多项式方程没有一般的解。他把这一研究成果提交给了法国科学院，由大数学家柯西(Augustin-LouisCauchy)负责审稿;然而，柯西建议他回去仔细润色一下(此前一直认为柯西把论文弄丢了或者私藏起来，最近的法国科学院档案研究才让柯西平反昭雪)。后来伽罗瓦又把论文交给了科学院秘书傅立叶(JosephFourier)，但没过几天傅立叶就去世了，于是论文被搞丢了。1831年伽罗瓦第三次投稿，当时的审稿人是泊松，他认为伽罗瓦的论文很难理解，于是拒绝发表。

因为一些极端的政治行动，伽罗瓦被捕入狱。即使在监狱里，他也不断地发展自己的数学理论。他在狱中结识了一名医生的女儿，并很快坠入爱河;但好景不长，两人的感情很快破裂。出狱后的第二个月，伽罗瓦决定替自己心爱的女孩与女孩的一个政敌进行决斗，不幸中枪，第二天便在医院里死亡。伽罗瓦死前的最后一句话是对他的哥哥艾尔弗雷德(Alfred)说的：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁死去。”

仿佛是预感到了自己的死亡，在决斗的前一夜，伽罗瓦通宵达旦奋笔疾书写下了自己所有的数学思想，并把它们和三篇论文手稿一同交给了他的好友谢瓦利埃(Chevalier)。在信的末尾，伽罗瓦留下遗嘱，希望谢瓦利埃能把论文手稿交给当时德国的两位大数学家雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi)和高斯(Carl Friedrich Gauss)，让他们就这些数学定理公开发表意见，以便让更多的人意识到这个数学理论的重要性。